Тема 11. Основи лінійного програмування

Основи лінійного програмування

Під словом «програмування» ми розуміємо реалізацію алгоритмів різними мовами програмування. Однак розділ математики «Математичне програмування» з'явився значно раніше від будь-яких мов програмування і мав інший зміст, бо тоді під терміном «програмування» розуміли виконання певних обчислювальних операцій. Точніше було б назвати цей розділ математики «Математичне планування».

Розглянемо деякі математичні поняття.

Дослідження операцій - математична дисципліна, яка вивчаєчає методи пошуку найкращих розв'язків задач для випадків, коли розв'язки і умови їх існування (які необхідно враховувати при їх прийнятті) можуть бути представлені у вигляді певних кількісних характеристик або мають певні пріоритети. Ось кілька прикладів таких задач: планування виробництва тих чи інших виробів; розробка схеми перевезень для забезпечення населених пунктів певними товарами; вибір харчового раціону, що містить достатню кількість корисних речовин. У всіх ци задачах нам повинні бути відомі кількісні характеристики: запаси сировини, вартість перевезень між різними населеним пунктами, необхідний вміст корисних речовин у кожному виді харчового продукту.

Наведені задачі постійно вирішуються на виробництвах, фірмах, у державних установах і мають економічний характер. Вони можуть мати різні варіанти розв'язків (так на практиці й відбувається). Однак, серед усіх цих можливих розв'язків є найкращий, який задовольняє сформульовані умови. Вибір такого оптимального розв'язку, який можна описати однією функцією, і є задачею математичного програмування.

У свою чергу математичне програмування — це розділ теорії прийняття рішень. Тобто під терміном  «програмування» розуміють розробку програми або плану дій. При цьому потрібно знайти  найкращий розв'язок задачі, а саме - визначити максимум або мінімум функції від багатьох змінних, якими є параметри даної задачі.

Задачі математичного програмування поділяють на задачі лінійного та нелінійного програмування. Задачі лінійного грамування розглядають лінійні залежності між параметрами. Якщо хоча б одна із залежностей, що описує задачу, нелінійна, то така задача відноситься до задач нелінійного програмування. Найбільш вивченим розділом математичного програмування є задачі лінійного програмування. Для їхнього розв’язання є  розроблено багато ефективних методів та алгоритмів.

Окремо у математичному програмуванні виділяють класи задач цілочислового програмування, де змінні можуть набувати тільки цілих значень, та динамічного програмування, де процес знаходження розв'язку є багатоетапним.

Задачі лінійного програмування часто використовуються у практиці під час розв'язання проблем, пов'язаних із розподілом ресурсів, плануванням виробництва, організацією роботи транспорту,… У багатьох практичних задачах витрати й прибутки лінійно залежать від кількості придбаних або утилізованих засобів. Наприклад, сумарна вартість партії товарів лінійно залежить від кількості закуплених одиниць товару, а оплата за перевезення здійснюється пропорційно вазі вантажу, що перевозиться. На практиці лінійні або близькі до лінійних залежності трапляються частіше ніж інші.я.

Розглянемо задачу лінійного програмування.

Задача про використання сировини

Нехай деяке підприємство виробляє два види продукції Р1 і Р2. Для випуску цих видів продукції необхідно використати три види сировини С1, С2 і С3. Відомо, яка кількість кожної сировини витрачається для виробництва продукції Р1 і Р2 відповідно. Також відома інформація про наявність усіх видів сировини на складі.

Види сировини	Запаси сировини	Кількість одиниць сировини для виготовлення одиниці продукції
		Р1	Р2
С1 С2 С3	20 40 30	2 8 5	5 5 6

Прибуток від реалізації одиниці продукції Р1 становить 50 грн., а продукції Р2 - 40 грн.

Шукатимемо розв'язок такої задачі: скільки потрібно виробити продукції Р1 і Р2 для отримання максимального при­бутку.

Створимо математичну модель даної задачі. Позначимо х1 - кількість одиниць продукції Р1, а х2 - кількість одиниць про­дукції Р2. Тоді, враховуючи кількість одиниць сировини, що витрачається на виготовлення одиниці продукції, а також за­паси сировини, одержимо систему нерівностей, яка одночасно є системою обмежень для розв'язку поставленої задачі:

2* х1 + 5* х2 <= 20

8* х1 + 5* х2 <= 40

5* х1 + 6* х2 <= 30

По цих обмеженнях видно, що кількість сировини не мо­же перевищувати її запасів на складі підприємства.

За умовою задачі прибуток підприємства складається з при­бутку від реалізації х1 одиниць продукції Р1 (50 грн. за кожну) та х2 одиниць продукції Р2 (40 грн. за кожну). Сумарний прибу­ток розраховуватиметься за формулою:

L = 50*х1 + 40*х2

Потрібно знайти такі невід'ємні значення х1 і х2, при яких функція L набуде максимального значення (щоб отримати найбільший прибуток).

Завдання

1. Задано

Види сировини	Запаси сировини	Кількість одиниць сировини для виготовлення одиниці продукції
		Р1	Р2	Р3
С1 С2 С3	50 70 100	2 4 6	3 5 8	7 7 7

Прибуток від реалізації одиниці продукції Р1 становить 30 грн., продукції Р2 - 50 грн., продукції Р3 - 60 грн.

Скільки потрібно виробити продукції Р1, Р2 і Р3 для отримання максимального при­бутку.

Створити математичну модель цієї задачі.